Nun funktionierts 
Authorisierung fehlte noch. Die dazu benötigten Daten findet man im Webinterface → Informationen → Entwickler
Hier noch der Codeschnipsel für alle:
curl --header "Authorization: Basic hier-die-Basic-Auth-info-einsetzen=" -X POST “https://pascom.cloud/deineInstanz/services/condition/switch/504" -H “accept: /" -H “Content-Type: application/json" -d "{\"039swi_state\": false, \"byuid\" : 101"}"
Die 504 hinter dem Link muss gegen die Durchwahl des zu schaltenden Durchwahlschalters angepasst werden.
Achtung, die Anführungszeichen werden vom Forum aus möglicherweise falsch wiedergegeben und können nicht in der Konsole genutzt werden. Klingt komisch, ist aber so.